Übungsblätter + viele Fragen

Hallo,
ich hab gestern angefangen, die Übungsblätter durchzuarbeiten. Leider war ich nur in wenigen Übungen anwesend, da ich Freitags oft einfach keine Zeit hatte.
Mein Generelles Problem ist, dass mir v.a. in Kapitel 3 (mathematische Grundlagen) sämtliches Background WIssen fehlt(im Gegensatz zur Programmierung in Java) - was v.a. allem daran liegt, da ich noch 1.5 Jahre Mathe am Gymnasium vor mir habe. Um es kurz zu machen - ich verstehe teilweise ganze Aufgaben nicht, auch nciht die Lösung.
1. Gibt es eine Möglichkeit, sich dieses Wiessen über Relationen, Mengen, Sorten etc. irgendwo anzueignen (außer im Skript), wo es auch auf einem niedrigeren Niveau begonnen wird?

Ich werfe einfach hier mal meine Teilfragen in den Raum, ich hoffe ihr seid so nett, mir bei diesen zu helfen

1.was bedeutet logisch => ? A => B heißt ja (Nicht) A (oder) B, sprich der Ausdruck ist true, wenn A Fasch oder B True ist. Doch verstehe ich nciht den logischen SInn dahinter….

2.
Übungsblatt 2 Aufgabe 1:
Ok, es gibt eine Funktion, die aus einer Eingabe, die binär codiert ist und 4 Stellen hat, die vorderste Stelle abschneidet. So ergibt f(101) = 01
01 ist ja in Dezimal = 1. Aber wie wird dann das Vorzeicghen verwaltet?
z.b. f(- =0 warum ist das 0?
bei -7 1 , bei -4 wieder 4… ich versteh die Funktion einfahc nicht.

Aufgabe 2:
Könnte man auch <Zahl> ::= (<Ziffer>)* schreiben?

Übungsblatt 3:
Ab AUfgabe 2: 2stellige relation zwischen m1 und m2, die eine Funktion ist.
Eine Funktion heißt doch, dass es für jedes x genau ein y gibt
aber hier gibt es für das Element a A,B,C und D

dann für diesselbe Relation , die keine FUnktion ist… Unterschied zu vorher?

Dann eine totale Funktion: was soll das sein? Das wird aus dem Skript nciht ganz ersichtlich.

Aufgabe 3:
ab damit können wir notieren:
Warum ist eine Echte Teilmenge ein Kreuzprodukt aus einer Menge M mit sich sleber?
….
Warum hat die Shcnittmenge 3 Parameter? usw.

Vorerst danke für die Hilfe

mfg, Alexander Blaut

Übungsblatt 2, Aufgabe 1:

Das mit den Negativen Zahlen kannst du dir anhand des Wertebereichs von Typen veranschaulichen.
byte z.b. umfasst alle Zahlen von (-128) bis (127).

Um nun in Binärdarstellung auf negative Werte zu kommen, sieht du dir an, auf welchen expliziten Werten die Funktion definiert ist.
Und das ist von -8 bis 7. Du braucht 4 Stellen in Binärdarstellung (n=4).
Also ergbit sich für die positiven Werte:

0: 0000
1: 0001
2: 0010
3: 0011
4: 0100
5: 0101
6: 0110
7: 0111

Die negativen Werte fangen also bei 1000 an.

-8: 1000
-7 = -8 +1: 1001
-6: 1010
etc…
-1: 1111

Nun kannst du die Werte der Bildmenge/Wertebereich ins Zweierkomplement umrechnen.
Wenn du die Funktionswerte in eine Tabelle schreibst, fällt auf, dass die hinteren 3 Stellen immer gleich sind, also bei der Funktion die vordere Stelle einfach wegfällt.

Zu deiner ersten Frage:

Die Implikation ist durch diese Wahrheitstabelle gegeben:

Wenn A wahr und B wahr, dann A=>B wahr.
Wenn A wahr und B falsch, dann A=>B falsch.
Wenn A falsch und B wahr, dann A=>B wahr.
Wenn A falsch und B falsch, dann A=>B wahr.

Man kann jetzt zeigen, dass “Nicht A oder B”, die selbe Wahrheitstabelle besitzt.

Somit ist A=>B äquivalent zu “Nicht A oder B”, drückt also die selbe Beziehung zwischen A und B aus.

Das Problem beim Erklären ist jetzt, dass die menschlich Logik sich ein bisschen von der mathematischen Logik unterscheidet. z.B. ist nicht unbedingt einsichtig, warum aus falschen Aussagen, wahre Implikationen folgen sollen.

Vielleicht konnte ich dir damit trotzdem ein bisschen weiterhelfen

Übungsblatt 3, Aufgabe 2:

2-stellige Relation die eine Funktion ist:

f: D -> B
Bei einer Funktion wird einem Element aus D höchstens ein Wert aus B eindeutig zugeordnet.
Wenn (x,y) ein Tupel der Funktion f ist, und ebenso (x,z), dann folgt y=z.

In der Aufgabe ist D=M1 und B=M2
M1 = {a}
Also wird a höchstens ein Element aus M2={A,B,C,D} zugeordnet.
L1={ (a,A) } oder L2={ (a,B)} usw.

2-stellige Relation die keine Funktion ist

Hier gilt für die Relation:
R: M3 x M2
da sie keine Funktion ist, muss sie einem Wert von M3 mehreren Werten aus M2 zuordnen.
Also bspw. L1={ (1,A), (1,B) }

Das kannst du dir an einem Koordinatensystem verdeutlichen.
Dir dürfte bekannt sein, dass bei einer Funktion der selbe x-Wert keine zwei y-Werte annimmt, jedoch zwei unterschiedliche x-Werte denselben y-Wert als Bild haben können.

Ist aber dennoch für’s Verständnis sehr nützlich!

“A => B” lässt sich lesen als “Falls A, dann B”. Um nicht mit kryptischen Buchstaben hantieren zu müssen, setzen wir für A und B einfach mal alltägliche Dinge ein:

“Falls es regnet, ist die Straße nass”.

Und jetzt fragen wir uns: ist diese Aussage, der ganze Satz also, wahr?

Nehmen wir also an es regnet, und die Straße ist nass. Naja, der Satz sagt uns, dass wir schauen müssen, ob die Straße nass ist, sobald es regnet. Sie ist’s! Und die Aussage ist wahr. A wahr, B wahr, A => B wahr.

Jetzt nehmen wir an, es regnet, aber die Straße ist aus irgendeinem seltsamen Grund staubtrocken. “Falls es regnet, ist die Straße nass”. Sie ist es aber nicht, also ist die ganze Aussage offensichtlich falsch! A wahr, B falsch, A => B falsch!

Okay, und jetzt der Knackpunkt: jetzt regnet es mal überhaupt nicht. Ist die Straße nass? “Falls es regnet…” - aber es regnet doch gar nicht. Es ist uns also völlig egal ob die Straße nass ist oder nicht, wir sind an der Stelle etwa zufrieden. A ist falsch, also muss B gar nicht betrachtet werden, und A => B ist wahr.

Da könnte auch stehen “Falls es regnet, bin ich der Kaiser von München”. Falls es gerade nicht regnet, habe ich nicht gelogen! Es spielt überhaupt keine Rolle, ob ich der Kaiser von München bin oder dass so etwas ja gar nicht geht, weil München gar keinen Kaiser (den beim DFB mal abgesehen) hat. Für den Moment ist die Aussage wahr. Zu einem späteren Zeitpunkt, mit anderer Belegung der Variable “es regnet”, vielleicht nicht mehr.

Übungsblatt 3, Aufgabe 3

M* := Menge aller Mengen
W := Wertebereich
M, N sind Elemente von M*

Stell dir die Relationen zunächst so vor:
R: M x N

Da M und N aber beliebig und nicht definiert sind, nimmt man ihre Typen. Wir haben M* als Menge aller Mengen, also kannst du dir die Relation als M* x M* vorstellen.
Ähnlich wie die Summe die auf |N x |N aufbaut und als Wertebereich W = |N x (|N x |N) hat.
Summe (Summand1 Summand2)

Die Menge aller Mengen enthält jede beliebige Menge M und jede beliebige Menge N.

Nun musst du dir überlegen was bei einer Verknüpfung/Kartesisches Produkt/Vergleich/etc dieser Relation herauskommen könnte.
Das ist dann deine Wertemenge.

Teilmenge:
M ist in N vollständig enthalten oder M = N.
Das bedeutet, wenn du Werte aus M mit Werten von N “vergleichst”, treten dabei keine Werte auf. Es wird keine neue Menge geformt (, die wiederum Element der Menge aller Mengen wäre).
Daher W = M* x M*

Analog die echte Teilmenge.

Vereinigung:

Hier zunächst ein triviales Beispiel.
+: N x N liefert bekanntlich Tupel wie (7, 4, 3)
Die Summenrelation auf zwei Werten, liefert einen dritten Wert.
Ebenso entsteht bei der Vereinigung von zwei Mengen, eine dritte Menge.
(analog Schnittmenge und Differenz)

Die Vereinigung liefert zusätzlich folgende Tupel, die nicht in den beiden einzelnen Mengen enthalten sind.
Also ist die Wertemenge W = M* x (M* x M*)

Bei der Schnittmenge entsteht eine Menge X die diejenigen Elemente beinhaltet, die sowohl in M als auch in N vorhanden sind. Dabei ist X wiederum Element der Menge aller Mengen.
Also W = M* x (M* x M*)
Analog die Differenz.

Wenn nun M und N disjunkt sind, ist die gemeinsame Schnittmenge leer, es wird also keine neue Menge gebildet.
Daher W = M* x M*

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

Wahnsinn ;D
ich bin begeistert… danke an alle, für die tollen Antworten, besonders an FlorianNass .
Nur nochmal zur Bestätigung meines Verständnisses:
Übungsblatt 2, Aufgabe 1:
Grundsätzlich ist eine 1 an der n-ten Stelle einer binären Darstellung eine negative Zahl, die nacheinanderfolgenden Zahlen von n-1 bis 0 werden dazuaddiert.

Zu impliziert: Klingt logisch, danke für das nette Beispiel .

Übungsblatt 3, Aufgabe 2:

Zur Funktion: Würde die Lösungsmenge L aber so aussehen : L = ((a,A),(a,b)), wäre dies folgerichtig keine Funktion .

Bezieht sich :

auf eine totale Funktion? wenn ja, dann ist das einleuchtend ( z.b. die normalparabell)

Übungsblatt 3, Aufgabe 3:

MIr war gar nciht klar, wozu Tupel gut sind (wie gesagt, mathematische Grundlagen). SIe modellieren also mögliche Elemente einer Funktion. Alle betrachteten Funktionen sind zweistellig, d.h. der Defenitionsbereich sind Tupel aus M x M.
Nun gibt es manche Funktionen , bei denen neue Werte und damit neue Mengen geformt werden. Wäre z.b. diese Notation : <schnittmenge> ( M, N) = A bzw. als Tupel : (A,M,N). Dabei ist A und N € M .

Korrigiert mich bitte, wenn was falsch ist

Noch eine anere Frage:
n
Σ i² :
i = 0

Das ist doch eine Summe der Zahlen i bis n. FÜr was steht das i²?

Nein, es ist die Summe der Quadrate, also:
0² + 1² + 2² + 3² + … + n²

Danke

13%19%9%5
aus dem WB:
Warum ist das 4? Ich rechne doch 13 % 19 = 0 , dann 0 / 9 = 0 und 0 / 5 = 0

052
woher weiß man, dass dieser ausdruck in oktalform dargestellt ist?

falsch. 13%19 ist 13, 13%9 ist 4, 4 % 5 ist 4

An der führenden “0”

OK, danke , hab ich so irgendwie nciht mitbekommen…
was mit hexadezimal? gibts da ein präfix?

Eine weitere Frage ( ich weiß, ich nerve ), aber sind variablen, die ich als public static deklariere, ÜBERALL sichtbar und gültig?
Was ist mit private? Wären sie dann nur innerhalb ihres eigenen Blocks sichtbar? Wäre das nicht sinnlos, da das ein wenig dem static widerspricht?

Worin ist nochmal der Unterschied zwischen Sichtbarkeit und Gültigkeit?

Bei Hexadezimal verwendet man 0x

Zu private und public:

Diese Modifier kannst du nur im Klassenrumpf verwenden, nicht aber in Methodenrümpfen.

Private: nur innerhalb der Klasse
Public: in allen Klassen
Protected: innerhalb des Packages und Unterklassen

Achja, statisch bedeutet, dass man auf diese Elemente zugreiffen kann, OHNE ein Objekt der Klasse erzeugen zu müssen.
Deswegen ist die main-Methode immer static.

Danke

Eine Frage zu den Relationen:
Laut Skript ist die Relation <= total
Sie ist alternativ und transitiv, reflexiv und antisymmmetrisch.
Wäre sie auch symmetrisch?

Ich gehe mal davon aus, dass du von , also von kleinergleich, und nicht von einem Implikationspfeil () sprichst:

Die Frage kannst du dir ganz einfach selbst beantworten: , aber ist ?

Alternativ:
entweder ist a <= b oder b <=a, eine andere Möglichkeit gibt es nicht.

Transitiv:
wenn
a <= b und b <= c
dann
a <= c

Reflexiv:
a <= a
und das ist wahr, weil a = a

Antisymmetrisch:
Wenn gilt
a <= b und b <=a
folgt
a = b
und das ist (immer) wahr.

Symmetrisch würde bedeuten:
Wenn
a <= b
dann folgt “zwangsläufig”
b <= a
Das trifft aber nicht zu wenn a ungleich b, sondern nur im Spezialfall a = b!

Ok danke, hab etwas überlesen

@Florian:

überleg dir mal ob deine Definition von alternativ stimmt, denn wenn dem so wäre widerspricht sich alternativ mit antisymmetrisch –> es gibt keine totale Ordnungsrelation

Um das mal Java-Prädikatenlogisch darzustellen:

Alternativ ist diese Relation, wenn (a <= b) || (a >= b)

Das mit “eine andere Möglichkeit gibt es nicht” mag nicht ganz klar formuliert gewesen sein. Auf jeden Fall war damit gemeint, dass zumindest einer dieser beiden Teilausdrücke (durch das “Oder” getrennt) true liefern muss (und das für alle a,b)

Und Antisymmetrisch:
WENN (a <= b) && (a >= b) DANN a = b

Sorry.

JimmyNeutron hat Folgendes geschrieben:

@Florian: überleg dir mal ob deine Definition von alternativ stimmt, denn wenn dem so wäre widerspricht sich alternativ mit antisymmetrisch –> es gibt keine totale Ordnungsrelation

[Forum:Einführung in die Programmierung (WiSe 09/10) / Beitrag:Relationen]

Das Problem war eher das “entweder”. “entweder oder” bedeutet XOR. Sei vorsichtig, sowas kann in allen möglichen Vorlesungen einen Punkt kosten! Im Zweifelsfall halt formeller hinschreiben.

Was sind nochmal die grundelgenden Kennzeichen vom OO - Programmierung?

- Kapselung
- Wiederverwendbarkeit
- Polymorphismus
- Abstraktion

hab ich was vergessen?

sag mal hast du kein skript??
Skripten sind ALLE auf der EIP Seite downloadbar!!

–> beziehung

Sr, hab das anscheinend übersehen, dass es da ne Aufzählung von gibt. Hab das nur schnell überflogen als WDH.

Aber danke !

Viel Glück morgen in der Klausur!